Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，A1B1⊥B1C1，AB=BC=BB1=2，M是BC1的中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用等腰三角形的三线合一得到B₁C⊥B₁M①和BC₁⊥A₁M②，结合线面垂直的判定解答；

（Ⅱ）首先判定A₁B₁⊥平面BMB₁，然后利用等积法得到

V

M−

A

1

B

1

B

＝

V

A

1

−BM

B

1

＝

1

3

×

S

△BM

B

1

×A₁B₁，只要求出△BMB₁的面积．

（Ⅰ）因为△B₁BC₁为等腰三角形，M是BC₁的中点，

所以B₁C⊥B₁M①

又因为△A₁BC₁为等腰三角形，M是BC₁的中点，所以BC₁⊥A₁M②，

由①②可得BC₁⊥平面A₁B₁M；

（Ⅱ）因为已知三棱柱是直棱柱，所以BB₁⊥A₁B₁，又A₁B₁⊥B₁C₁，

所以A₁B₁⊥平面BMB₁，所以VM−A1B1B＝VA1−BMB1＝

1

3×S△BMB1×A₁B₁，

其中S△BMB1＝

1

2×BM×MB1＝

1

2×

2×

2=1，A₁B₁=2，

所以VM−A1B1B＝

1

3×1×2＝

2

3．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查了线面垂直的判定和三棱柱性质的运用，属于基础题．