1.
证：
n≥2时,
a(n+1)=5an-6a(n-1)
a(n+1)-3an=2an-6a(n-1)=2[an-3a(n-1)]
[a(n+1)-3an]/[an-3a(n-1)]=2,为定值.
a2-3a1=5-3=2
数列{a(n+1)-3an}是以2为首项,2为公比的等比数列.
2.
a(n+1)-3an=2ⁿ
a(n+1)+2^(n+1)=3an +3×2ⁿ=3(an +2ⁿ)
[a(n+1)+2^(n+1)]/(an+2ⁿ)=3,为定值.
a1 +2=1+2=3
数列{an +2ⁿ}是以3为首项,3为公比的等比数列.
an+2ⁿ=3ⁿ
an=3ⁿ-2ⁿ
n=1时,a1=3-2=1；n=2时,a2=9-4=5,均满足.
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ-2ⁿ.
3.
n=1时,2×1²+1=3 a12(2k²+1)+3^k
k≥4 3^k≥81
a(k+1)>4k²+83
(4k²+83)-[2(k+1)²+1]=2k²-4k+80=2(k-1)²+78>0
a(k+1)>2(k+1)²+1
k为不小于4的任意实数,因此对于任意不小于4的实数n,a(n+1)恒>2(n+1)²+1
综上,得
n=1,n=2时,an2n²+1.