Question

a1=(1,2,0)T, a2=(1,a+2,-3a)T, a3=（-1,-b-2,a+2b）T,β=（1,3,-3）T

Answer 1

解: 问题即线性方程组 (a1,a2,a3)X=β 解的存在性.

(a1,a2,a3,β) =

1 1 -1 1

2 a+2 -b-2 3

0 -3a a+2b -3

r2-2r1

1 1 -1 1

0 a -b 1

0 -3a a+2b -3

r3+3r2

1 1 -1 1

0 a -b 1

0 0 a-b 0

当a≠0且a≠b时, β可由a1,a2,a3唯一线性表示

当a=0时

(a1,a2,a3,β)-->

1 1 -1 1

0 0 -b 1

0 0 -b 0

r3-r2

1 1 -1 1

0 0 -b 1

0 0 0 -1

此时方程组无解, 故β不能由a1,a2,a3线性表示.

当a=b≠0时

(a1,a2,a3,β)-->

1 1 -1 1

0 a -a 1

0 0 0 0

r2*(1/a),r1-r2

1 0 0 1-1/a

0 1 -1 1/a

0 0 0 0

此时β可由a1,a2,a3线性表示,但是表示不唯一

一般表示: β=(1-1/a)a1+(k+1/a)a2+ka3.