解题思路：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可．
（1）∵抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）过点A，B，
∴
a−b−2＝0
16a+4b−2＝0，
解得：
a＝
1
2
b＝−
3
2，
∴抛物线的解析式为：y=[1/2]x2-[3/2]x-2；
∵y=[1/2]x2-[3/2]x-2=[1/2]（x-[3/2]）2-[25/8]，
∴C（[3/2]，-[25/8]）．
（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（[3/2]，0），⊙M的半径=[5/2]．
∵P是抛物线与y轴的交点，
∴OP=2，
∴MP=
OP2+OM2=[5/2]，
∴P在⊙M上，
∴P的对称点（3，-2），
∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
（3）存在；
抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，-2），
又∵C（[3/2]，-[25/8]）
∴C'（[3/2]-t，-[25/8]），P'（3-t，-2），
∵AB=5，
∴P″（-2-t，-2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（[3/2]-t，[25/8]），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，
−2＝(−2−t)k+b
25
8＝(
3
2−t)k+b，
解得
k＝
41
28
b＝
41
28t+
13
14
∴直线y=[41/28]x+[41/28]t+[13/14]，
点A在直线上，
∴-[41/28]+[41/28]t+[13/14]=0
∴t=[15/41]．
故将抛物线向左平移[15/41]个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标，二次函数的对称性，以及距离之和最小的问题，涉及考点较多，有一定的难度．