如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切⊙O于点D,连接CD交AB于点E.

3个回答

  • 解题思路:(1)求PD=PE,可证所对的角相等;连接OC、OD,C是半圆ACB的中点,则CO⊥AB;由切线的性质易知OD⊥PD,则∠CEO和∠PDE是等角的余角,所以∠CEO=∠PDE,而∠CEO和∠PED是对顶角,等量代换后即可证得所求的结论;

    (2)由于PD=PE,证PD2=PA•PB,可将乘积式化为比例式,然后证对应的三角形相似即可,即连接AD、BD,证△PBD∽△PDA.

    证明:(1)连接OC、OD,

    ∵C是半圆ACB的中点

    ∴∠COA=∠COB

    ∵∠COA+∠COB=180°

    ∴∠COA=∠COB=90°

    ∴OD⊥PD,OC⊥AB.

    ∴∠PDE=90°-∠ODE,

    ∠PED=∠CEO=90°-∠C,

    又∵OC=OD,

    ∴∠C=∠ODE,

    ∴∠PDE=∠PED.

    ∴PE=PD.

    (2)连接AD、BD,

    ∴∠ADB=90°.

    ∵∠BDP=90°-∠ODB,∠A=90°-∠OBD,

    又∵∠OBD=∠ODB,∴∠BDP=∠A,

    ∵∠P=∠P,

    ∴△PDB∽△PAD.

    ∴[PD/PB=

    PA

    PD],∴PD2=PA•PB.

    ∴PE2=PA•PB.

    点评:

    本题考点: 圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质;能够正确的构建出相似三角形是解答(2)题的关键.