Question

对于任意的复数z=x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）=x 2 [cos（yπ）+isin（yπ）]．

Answer 1

（1）

z=x+yi

|z|≤1 ⇒ x 2 + y 2 ≤1

由于x，y∈Z，得

x=±1

y=0 ，

x=0

y=±1 ，

x=0

y=0

∴P（±1）=1，P（±i）=0，P（0）=0，

∴A={0，1}

（2）若z=2+yi（y∈R），则P（z）=4[cos（yπ）+isin（yπ）]

若P（z）为纯虚数，则

cosyπ=0

sinyπ≠0

∴ y=k+

1

2 ，k∈Z

∴ |z|=

2 2 + y 2 =

(k+

1

2 ) 2 +4 ，k∈Z

∴当k=0或-1时， |z | min =

17

2 ．

（3）P（z）对应点坐标为（x ²cos（yπ），x ²sin（yπ））

由题意：

y=x-9

x 2 sinyπ= x 2 cosyπ-9

x，y∈Z 得x ²sin（xπ-9π）=x ²cos（xπ-9π）-9

所以 x ²sinxπ=x ²cosxπ+9∵x∈Z

∴①当x=2k，k∈Z时，得x ²+9=0不成立；

②当x=2k+1，k∈Z时，得x ²-9=0∴x=±3成立

此时

x=3

y=-6 或

x=-3

y=-12 即z=3-6i或z=-3-12i．