求2008年辽宁省高中数学竞赛初赛试题及答案

1个回答

  • 1.设集合M={u|u=12m+8n+4l,m,n,l∈Z},N={u|u=20p+16q+12r,p,q,r∈Z },则M与N的关系为( )

    A.M=N B. C. D.

    2.设一个四面体的体积为V1,以它的各棱的中点为顶点构成一个凸多面体,其体积为V2,则为( )

    A. B. C. D.不确定

    3.在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,满足a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5的排列的个数为( )

    A.24 B.16 C.10 D.8

    4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )

    A.有两个相等实根 B.有两个同号互异实根

    C.有两个异号实根 D.无实根

    5.若为奇函数且在[0,]为减函数,则θ的一个值为( )

    A.π B.π C.- D.-

    6.已知x,y满足若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则a的取值范围是( )

    A.0≤a≤1 B.-1≤a≤0 C.-1≤a≤1 D.a≤-1或a≥1

    二、填空题(本题满分30分,每小题5分)

    7.设圆Ck={(x,y)|(x-mk)2+(y-mk)2≤2k2},k∈N+,其中mk定义如下:m1=0,mk+1=mk+2k+1(k≥1),则的面积为____.

    8.已知复数集合D,复数z∈D当且仅当存在模为1的复数z1使得.则D中实部和虚部都为整数的复数的个数是____.

    9.一个正方体的任意4个不在同一平面上的顶点A、B、C、D组成的二面角A-BC-D的余弦值中,小于的值的个数是____.

    10.设A={1,2,3,…,n}(n>1,n∈N),映射f:A→A.则满足f(1)≤f(2)≤…≤f(n),且象恰好取k(1<k≤n)个不同值的f的个数为____.

    11.设F为抛物线y2=2x-1的焦点,Q(a,2)为直线y=2上一点,若抛物线上有且仅有一点P满足|PF|=|PQ|,则a的值为____.

    12.设x, y>0,S(x,y)=min{x,y,},则S(x,y)的最大值为____.

    三、解答题(本题共4道小题,满分90分)

    13.(本小题满分20分)设0<α,β,γ<满足

    cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1.

    求证:.

    14.(本小题满分20分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过(-,0)的直线在第一象限交抛物线于C、D两点,若在x轴上存在点E,使CE⊥DE,求直线CD的斜率k的取值范围.

    15.(本小题满分25分)AN是△ABC的角平分线,AN的延长线交△ABC的外接圆于D;M是AN上一点,直线BM和CM分别交△ABC外接圆于E和F;DF交AB于P,DE交AC于Q.求证:P、M、Q三点共线.

    16.(本小题满分25分)设集合

    M={n|n!可以表示为(n-3)个连续正整数之积,且n>4}.证明M是有限集,并求出M的所有元素.

    参考答案及评分标准

    一、选择题(本题满分30分,每小题5分)

    1.A 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C

    二、填空题(本题满分30分,每小题5分)

    7. 8.49 9.4 10. 11.0或1 12.

    三、解答题(本题共4道小题,满分90分)

    13.(本小题满分20分)

    由已知cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1,得

    (cosγ+cosαcosβ)2=(1-cos2α)(1-cos2β)=sin2αsin2β.

    由α,β,γ∈(0,),得cosγ+cosαcosβ=sinαsinβ.

    cosγ=-(cosαcosβ-sinαsinβ)

    =-cos(α+β)=cos(π-α-β). ……(5分)

    而π-α-β,γ∈(0,),所以α+β+γ=π.

    所以α,β,γ是某一个锐角三角形的三内角.

    令x=sinα;y=sinβ;z=sinγ,

    x,y,z可构成某一个三角形的三边长. ……(10分)

    . ……(15分)

    由|x-y|<z,|y-z|<x,|z-x|<y,

    于是≤. ……(20分)

    14.(本小题满分20分)

    过的直线方程为,代入抛物线方程,得

    . ……(5分)

    设直线与抛物线的交点为C(x1,y1),D(x2,y2),则有

    ,;

    ,

    . ……(10分)

    设点E的坐标为(x0,0),由CE⊥DE,

    (x1-x0)(x2-x0)+y1y2=0,即.

    代入并整理得

    . ……(15分)

    由于点E存在,故,

    解得.因为C,D在第一象限,故k>0,

    所以,. ……(20分)

    15.(本小题满分25分)

    证明:连接PM、QM、BD.

    ∵∠PAD=∠MAC,∠ADP=∠ACM,

    ∴△ADP∽△ACM,AP:AM=PD:MC. ……(5分)

    ∵∠BPD=∠PAD+∠ADP=∠MAC+∠ACM=∠NMC,

    又∠FDB=∠FCN,

    ∴△BDP∽△NCM,

    PB:MN=PD:MC. ……(15分)

    ∴AP:AM=PB:MN.

    ∴PM‖BC. ……(20分)

    同理可证QM‖BC,

    故P、M、Q三点共线. ……(25分)

    16.(本小题满分25分)

    设n∈M,则n!=1×2×…×n=m(m+1)…(m+n-4),

    若m≤4时,则m(m+1)…(m+n-4)≤4×5×…×n<n!

    故必有m≥5. ……(5分)

    因为m(m+1)…(m+n-5)≥5×6…×n,

    故m+n-4≤4!=24,n≤28-m≤23,

    所以M是有限集. ……(10分)

    当m=5时,n=23,23!=5×6×…×24.

    当m≥6时,由于5!=120不能表为2个连续正整数之积,

    故m(m+1)…(m+n-4)至少有3个因子,

    因为m(m+1)…(m+n-6)≥6×7×…×n,

    所以(m+n-5)(m+n-4)≤5!=120<11×12.

    由此可得,m+n≤15. ……(15分)

    当m≥n时,得n≤7,当m<n时,得m≤7;

    所以,5≤m≤7或n≤7. ……(20分)

    经验证,23!=5×6×…×24,6!=8×9×10,7!=7×8×9×10,

    所以,M={6,7,23}. ……(25分)