解题思路:(1)连接BO并延长交圆O于G,连接GC,由已知条件推导出∠GBC+∠EBC=90°,从而得到OB⊥BE.由此能证明BE是圆O的切线.
(2)由(1)知△BDE∽△ABE,从而得到AE•BD=AB•BE,由此利用切割线定理能求出DE.
(1)证明:连接BO并延长交圆O于G,连接GC,
∵∠DBC=∠DAC,又∵AD平分∠BAC,BD平分∠EBC,
∴∠EBC=∠BAC.
又∵∠BGC=∠BAC,∴∠EBC=∠BGC,
∵∠GBC+∠BGC=90°,
∴∠GBC+∠EBC=90°,∴OB⊥BE.
∴BE是圆O的切线.…(5分)
(2)由(1)知△BDE∽△ABE,[BE/AE=
BD
AB],
∴AE•BD=AB•BE,AE=6,AB=4,BD=3,
∴BE=
9
2.…(8分)
由切割线定理得BE2=DE•AE,
∴DE=
27
8.…(10分)
点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.
考点点评: 本题考查圆的切线的证明,考查线段长的求法,是非曲直中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.