Question

已知曲线f（x）=log2(x+1)x+1（x＞0）上有一点列Pn（xn，yn）（n∈N*），点Pn在x轴上的射影是Qn

Answer 1

解题思路：（1）由x_n=2x_n-1+1，从而有x_n+1=2（x_n-1+1），故可得{x_n+1}是公比为2的等比数列，进而可求数列{x_n}的通项公式；

（2）先将四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积表示为：

S

n

＝

3n+1

4

，再表示

1

n

S

n

，进而利用放缩法可证．

（1）由x_n=2x_n-1+1得x_n+1=2（x_n-1+1），∵x₁=1∴x_n+1≠0，

故{x_n+1}是公比为2的等比数列，∴x_n=2ⁿ-1．（6分）

（2）∵yn＝f(xn)＝

log2(2n−1+1)

2n−1+1＝

n

2n，∴Q_nQ_n+1=2ⁿ，而P_nQ_n=

n

2n，（9分）

∴四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积为：Sn＝

3n+1/4]，∴[1

nSn＝

4

n(3n+1)＝12(

1/3n−

1

3n+1)＜12(

1

3n−

1

3n+3)＝4(

1

n−

1

n+1)，

故

1

S1+

1

2S2]+…+

1

nSn＜4(1−

1

n+1)＜4．（14分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查构造法证明等比数列，从而求数列的通项公式，考查放缩法证明不等式，属于中档题．