解题思路：（Ⅰ）先令
F(x)＝f(x)−2g(
x−1
x+1
)
=
lnx−2
x−1
x+1]，求导数得到
F′(x)＝
1
x
−
4
(x+1)
2
＝
(x−1)
2
x
(x+1)
2
．
利用导数的性质得出F（x）在（1，+∞）上是增函数．F（x）＞F（1）．从而证得结论；
（Ⅱ）原方程化为
1
2
g(
x
2
)−2f(1+|x|)＝k
，令
G(x)＝
1
2
g(
x
2
)−2f(1+|x|)
，则
G(x)＝
1
2
x
2
−2ln(1+|x|)
．
利用导数研究其单调性即可解决问题．
（Ⅰ）令F(x)＝f(x)−2g(
x−1
x+1)=lnx−2
x−1
x+1]，F′(x)＝
1
x−
4
(x+1)2＝
(x−1)2
x(x+1)2．
当x＞1时，F'（x）＞0 恒成立，∴F（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵F（x）在x=1 处连续，∴F（x）＞F（1）．
∵F（1）=0，∴当x∈（1，+∞）时，F（x）＞0 恒成立．
∴f(x)＞2g(
x−1
x+1)．
（Ⅱ）原方程化为[1/2g(x2)−2f(1+|x|)＝k，
令G(x)＝
1
2g(x2)−2f(1+|x|)，则G(x)＝
1
2x2−2ln(1+|x|)．
∵G（-x）=G（x），∴G（x）是偶函数．
当x≥0时，G(x)＝
1
2x2−2ln(1+x)（x≥0），
则G′(x)＝x−
2
1+x]=
x2+x−2
1+x．
∵x≥0，∴令G'（x）=0，得x=1．
当x∈[0，1），G'（x）＜0，G（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），G'（x）＞0，G（x）单调递增．
∴x≥0时，在x=1处G（x）取得极小值为G（1）=[1/2−2ln2．
又G（0）=0，∴当k∈（
1
2−2ln2，0）时函数G(x)＝
1
2x2−2ln(1+x)（x≥0）与y=k 有两个不同的交点．
∵G（x）是偶函数，
∴G（x）=k在k∈（
1
2−2ln2，0）时有四个不同的实数根．
点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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