Question

f(x)=log2(x-1),h(x)=f(x)+m/f(x),是否存在正实数m,使h(x)在[3,9]上取得最小值为4

Answer 1

f(x)=log2(x-1)在[3,9]上的值域为[1,3].

根据不等式a+b≥2√(ab) [a,b＞0；当a=b时,a+b=2√(ab)]知：

h(x)=f(x)+m/f(x)≥2√[f(x)·m/f(x)]=2√m,即h(x)的最小值为2√m.

当2√m=4时,m=4.

当f(x)+m/f(x)取得最小值时,f(x)=m/f(x),得f(x)=√m=√4=2；f(x)在[1,3]、则x在[3,9]上.

结论：存在正实数m=4,使h(x)在[3,9]上取得最小值为4.