解题思路：对于（1），由正三棱柱ABC-A1B1C1表面最短距离的求法，使用侧面展开图可以确定P、Q的具体位置，然后在平面APQ内找一条平面AA1C1C的垂线即可；
对于（2），求线面角，法一：由（1），可以确定直线AP的射影，即为A1P，从而∠APA1是直线AP与平面A1PQ所成的角，因此在一个平面AA1B1B中，三角形APA1的三边都可以计算，由余弦定理可以求之；
法二：可以取BC中点O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，这样点A、A1、P、Q都可以用坐标表示，求出平面A1PQ的一个法向量，然后通过向量与向量AP的夹角来计算亦可．
（1）∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，
∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形A′A1′A1″A″
而，折线APQA1的长AP+PQ+QA1最短，当且仅当A'、P、Q、A″点共线，
∴P、Q分别是BB1、CC1上的三等分点，其中BP＝C1Q＝
1
3．（2分）
（注：直接正确指出点P、Q的位置，不扣分）
连接AQ，取AC中点D，AQ中点E，连接BD、DE、EP．
由正三棱柱的性质，平面ABC⊥平面AA1C1C，
而BD⊥AC，BD⊂平面ABC，
平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴BD⊥平面AA1C1C．（4分）
又由（1）知，DE∥＝
1
2CQ∥＝BP，
∴四边形BDEP是平行四边形，从而PE∥BD．
∴PE⊥平面AA1C1C．
而PE⊂平面APQ，∴平面APQ⊥平面AA1C1C．（8分）
（2）（法一）由（1），同理可证，平面A1PQ⊥平面AA1B1B．（10分）
而AP⊂平面AA1B1B，平面A1PQ∩平面AA1B1B=AP，
∴A1P即为AP在平面A1PQ上的射影，
从而∠APA1是直线AP与平面A1PQ所成的角．（12分）
在△APA1中，AA1=1，AP＝
AB2+BP2＝
10
3，PA1＝
A1
B21+B1P2＝
13
3，
由余弦定理，cos∠APA1＝
10
9+
13
9−1
2×
点评：
本题考点： 平面与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查面面垂直的判定以及线面角的求法，面面垂直要转化为线面垂直来证明，而线面角的求法有两种：几何法和向量法，在使用几何法的时候注意作、证、指、求几个步骤；向量法要注意求该平面的法向量与向量AP的夹角与所求角之间的关系，以免出现错误．