（2008•成都二模）已知数列{an}和等比数列{ - 知识问答

（2008•成都二模）已知数列{an}和等比数列{bn}满足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且数列{an+1

1个回答

解题思路：（Ⅰ）由题设可知，
b
n
＝4×(
1
2
)
n−1
＝(
1
2
)
n−3
，由此能够推出
a
n
＝
n
2
−7n+14
2
．
（Ⅱ）设
c
n
＝
a
n
−
b
n
＝
n
2
−7n+14
2
−(
1
2
)
n−3
，由题设条件知
c
n+1
−
c
n
＝(n−3)+(
1
2
)
n−2
，由此入手能够推导出存在k=5，使得
a
k
−
b
k
∈(
1
2
，3]
．
（Ⅰ）由题设可知，bn＝4×(
1
2)n−1＝(
1
2)n−3，
∵a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，
∴a_n+1-a_n=-2+（n-1）×1=n-3，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=4+(−2)+(−1)++(n−4)＝4+
(n−1)(n−6)
2，
∴an＝
n2−7n+14
2．
（Ⅱ）设cn＝an−bn＝
n2−7n+14
2−(
1
2)n−3，
显然，n=1，2，3时，c_n=0，
又cn+1−cn＝(n−3)+(
1
2)n−2，
∴当n=3时，c4−c3＝
1
2，∴a4−b4＝
1
2，
当n=4时，c5−c4＝
5
4，∴a5−b5＝
7
4，
当n=5时，c6−c5＝
17
8，∴a6−b6＝
31
8＞3，
当n≥6时，cn+1−cn＝(n−3)+(
1
2)n−2＞3恒成立，
∴c_n+1=a_n+1-b_n+1＞3+c_n＞3恒成立，
∴存在k=5，使得ak−bk∈(
1
2，3]．
点评：
本题考点：数列的应用；等差数列的性质．
考点点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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