Question

若sinαcosβ=[1/2]，求cosαsinβ的取值范围．

Answer 1

解题思路：本题考查的知识点是三角函数的定义，及倍角公式，由sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=[1/2]+cosαsinβ，sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β）=[1/2]-cosαsinβ，结合正弦函数的值域为[-1，1]，解不等式组即可得到cosαsinβ的取值范围．

∵sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=[1/2]+cosαsinβ，

∴-1≤[1/2]+cosαsinβ≤1

即-[3/2]≤cosαsinβ≤[1/2]

∵sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β）=[1/2]-cosαsinβ，

∴-1≤[1/2]-cosαsinβ≤1

即-[1/2]≤cosαsinβ≤[3/2]

∴-[1/2]≤cosαsinβ≤[1/2]

∴cosαsinβ的取值范围为[-[1/2]，[1/2]]．

点评：

本题考点： 二倍角的正弦；二倍角的余弦．

考点点评： 观察题目中已知与未知的量，并根据它们的关系选择计算sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=[1/2]+cosαsinβ，sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β）=[1/2]-cosαsinβ，是解决本题的关键，要求大家熟练掌握三角函数的相关公式．