Question

（2014•如东县模拟）如图，点A的坐标是（0，2），点B是x轴正半轴上的点，过点B作直线l垂直于x轴，点C为线段OB上

Answer 1

解题思路：（1）根据已知条件求出∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠OAC=90°，得出∠BCD=∠OAC，再根据AA得出△AOC∽△CBD，得出[CB/AO]=[DB/OC]，求出DB=[1/2]n（m-n）=-[1/2]n²+[1/2]mn，即可得出D的坐标；

（2）根据△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，得出∠DEC=∠DBC=90°，当点A、E、D三点在同一直线上时，得出∠AOC=∠AEC，再根据∠BCD=∠ECD，得出∠ACO=∠ACE，再根据AAS得出△AOC≌△AEC，得出OC=EC=BC，从而得出m，n之间的数量关系；

（3）当AE∥x轴时，得出∠EAC=∠ACE，EA=EC=CB=m-n，作EF⊥OC，得矩形AOFE，根据矩形的特点得出CF=|n-（m-n）|=|2n-m|，再根据勾股定理得出EF²+FC²=EC²，然后进行整理得出3n²-2mn+4=0，再根据点C的运动过程中有唯一位置使得AE∥x轴，得出△=（2m）²-4×3×4=0，求出符合条件的m的值即可．

（1）∵CD⊥AC，DB⊥BO，AO⊥BO，

∴∠AOC=∠CBD=90°，∠ACD=90°，

∴∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BCD=∠OAC，

∴△AOC∽△CBD，

∴[CB/AO]=[DB/OC]，即[m−n/2]=[DB/n]，

∴DB=[1/2]n（m-n）=-[1/2]n²+[1/2]mn，

∴D（m，-[1/2]n²+[1/2]mn）；

（2）∵△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，

∴∠DEC=∠DBC=90°，

当点A、E、D三点在同一直线上时，∠AEC=180°-∠DEC=90°，

∴∠AOC=∠AEC，

∵∠ACO+∠BCD=90°，∠ACE+∠ECD=90°

又∵∠BCD=∠ECD，

∴∠ACO=∠ACE，

在△AOC与△AEC中，

∠AOC＝∠AEC

∠ACO＝∠ACE

AC＝AC，

∴△AOC≌△AEC（AAS），

∴OC=EC=BC，即n=m-n，

∴m=2n；

（3）当AE∥x轴时，∠EAC=∠ACO，∠ACO=∠ACE，

∴∠EAC=∠ACE

∴EA=EC=CB=m-n，

作EF⊥OC，得矩形AOFE，

∴EF=AO=2，OF=AE=m-n，

∴CF=|n-（m-n）|=|2n-m|，

Rt△FCE中，根据勾股定理得EF²+FC²=EC²，

∴2²+（2n-m）²=（m-n）²，

整理得3n²-2mn+4=0，

∵点C的运动过程中有唯一位置使得AE∥x轴，

∴△=（2m）²-4×3×4=0，m=±2

3（负值舍去），

∴m=2

3．

点评：

本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理等，关键是根据题意画出辅助线，得出CF的值．