给定椭圆
,称圆心在坐标原点O,半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是
.
(1)若椭圆C上一动点
满足
,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点
作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
,求P点的坐标;
(3)已知
,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
(1)椭圆方程
,伴随圆方程
;(2)
;(3)存在,
.
试题分析:(1)这是基本题,题设实质已知
,要求椭圆标准方程,已知圆心及半径求圆的方程;(2)为了求
点坐标,我们可设直线
方程为
,直线
与椭圆只有一个公共点,即直线
的方程与椭圆的方程联立方程组,这个方程组只有一个解,消元后利用
可得
的一个方程,又直线
截圆所得弦长为
,又得一个关于
的方程,联立可解得
;(3)这是解析几何中的存在性问题,解决方法都是假设存在,然后去求出这个
,能求出就说明存在,不能求出就说明不存在.解法如下,写出过点
的直线方程,求出圆心到这条直线的距离为
,可见当圆半径不小于3时,圆上的点到这条直线的最短距离为0,即当
时,
,但由于
,无解,当圆半径小于3时,圆上的点到这条直线的最短距离为
,由此得
,又有
,可解得
,故存在.
(1)由题意:
,则
,所以椭圆
的方程为
, 2分
其“伴随圆”的方程为
. 4分
(2)设直线
的方程为
由
得
6分
则有
得