（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,
∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
AB=AC
∠BAD=∠CAF
AD=AFx05
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证）,
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG,
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中,AD=DE= √2 ,
∴AE= √（AD²+DE² ） =2,
∴AN=FN= 1/2 AE=1．
在等腰直角△ABC 中,AB=4,
∴CN=AC-AN=3,BC= √（AB²+AC²） =4 √2 ．
在Rt△FCN中,tan∠FCN= FN/CN = 1/3 ．
∴在Rt△ABM中,tan∠ABM= AM/AB =tan∠FCN= 1/3 ．
∴AM= 1/3 AB= 4/3 ．
∴CM=AC-AM=4- 4/3 = 8/3 ,BM=√（AB²+AM²） =（ 4 √10）/3
∵△BMA∽△CMG,
∴ BM/BA = CM/CG ．
∴ 4 √10（/3/4） = 8/3/(CG ) ．
∴CG= 4√ 10/5
∴在Rt△BGC中,BG= √（BC²-CG²） =（ 8√ 10）/5