Question

证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足条件：

Answer 1

简单想了一下,似乎需要f连续才能证明唯一性.假设条件满足,那么

设g(x)=f(x)-1,那么g(x)+g(y)=g(x+y),g(nx)=ng(x).

设g(1)=a,那么g(n)=na.

由(1),g(1/n)=a-1+1/n.

因为g是线性,所以a-1=0（也可以通过g(1/2)=g(2/4)=2*g(1/4)来证明）.

故g(1/n)=1/n,g(p/q)=g(p/q).

由g的连续性,对所有实数,g(x)=x,f(x)=x+1