Question

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，

Answer 1

解题思路：（1）法一：由EE₁∥A₁D⇒EE₁∥F₁C⇒EE₁∥平面FCC₁．即用利用线线平行来推线面平行．

法二：由平面ADD₁A₁∥平面FCC₁⇒EE₁∥平面FCC₁．即用利用面面平行来推线面平行．

（2）先证AC⊥BC，又由AC⊥CC₁⇒AC⊥平面BB₁C₁C⇒平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．即利用线线垂直来推线面垂直再推2面面垂直．

证明：（1）证法一：取A₁B₁的中点为F₁，

连接FF₁，C₁F₁，

由于FF₁∥BB₁∥CC₁，

所以F₁∈平面FCC₁，

因为　平面FCC₁即为平面C₁CFF₁，

连接A₁D，F₁C，

由于A₁F₁和D₁C₁和CD平行且相等．

所以　四边形A₁DCF₁为平行四边形，

因为　A₁D∥F₁C．

又　EE₁∥A₁D，

得EE₁∥F₁C，

而　EE₁⊄平面FCC₁，F₁C⊂平面FCC₁，

故　EE₁∥平面FCC₁．

证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，

所以CD∥AF，

因此　四边形AFCD为平行四边形，

所以　AD∥FC．

又　CC₁∥DD₁，FC∩CC₁=C，

FC⊂平面FCC₁，CC₁⊂平面FCC₁，

所以　平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，

又　EE₁⊂平面ADD₁A₁，

所以　EE₁∥平面FCC₁．

（ 2）证明：连接AC，连△FBC中，FC=BC=FB，

又　F为AB的中点，

所以　AF=FC=FB，

因此∠ACB=90°，

即　AC⊥BC．

又　AC⊥CC₁，且CC₁∩BC=C，

所以　AC⊥平面BB₁C₁C，

而　AC⊂平面D₁AC，

故　平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查平面和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．