解题思路：（1）由题意已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），设出函数的解析式，然后根据待定系数法求出函数的解析式；
（2）由已知f（x）=f（a），得x2+[8/x]=a2+[8/a]，在同一坐标系内作出f2（x）=[8/x]和f3（x）=-x2+a2+[8/a]的大致图象，然后利用数形结合进行讨论求证．
（1）由已知，设f1（x）=ax2，过点（1，1），
即f1（1）=1，得a=1，
∴f1（x）=x2．
设f2（x）=[k/x]（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为
A（
k，
k）B（-
k，-
k）
由|AB|=8，得k=8，．∴f2（x）=[8/x]．故f（x）=x2+[8/x]．
（2）证法一：f（x）=f（a），得x2+[8/x]=a2+[8/a]，
即[8/x]=-x2+a2+[8/a]．
在同一坐标系内作出f2（x）=[8/x]和f3（x）=-x2+a2+[8/a]的大致图象，
其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
f3（x）与的图象是以（0，a2+[8/a]）为顶点，开口向下的抛物线．
因此，f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，
即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f2（2）=4，f3（2）=-4+a2+[8/a]
当a＞3时，．f3（2）-f2（2）=a2+[8/a]-8＞0，
∴当a＞3时，在第一象限f3（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f2（x）图象的上方．
∴f2（x）与f3（x）的图
点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 此题考查了方程根的存在性及其个数的判断，还考查了待定系数法求函数的解析式，综合性比较强，难度比较大．