Question

1、如图,已知三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径做圆O交BC与D,过D做DE垂直AC于E,求证：DE是圆O的切线.

Answer 1

1、连接OD

∵AB=AC OB=OD

∴∠B=∠C ∠B=∠ODB

∴∠C =∠ODB

∴OD∥AC

∵DE⊥AC

∴DE⊥OD

∴DE是⊙O的切线.

2、∵AD是⊙O的直径

∴∠ACD =90°

∴∠DAC+∠D=90°

∵∠D=∠B

∠CAE=∠B

∴∠DAC+∠CAE=90°

即：∠DAE=90°

∴AE⊥OA

∴AE是⊙O的切线.

3、

（1）连接OD,

则∠HOD=2∠A,

已知∠HDE=2∠A,

则∠HOD=∠HDE,

∵HD⊥AB,

∴∠HOD+∠HDO=90°,

∴∠HDE+∠HDO=90°,

即OD⊥DE,

又OD是半径,

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE是⊙O的切线,∠ABC=90°,

∴∠OBE=∠ODE=90°,

又OB=OD,OE=OE,

∴Rt△BOE≌Rt△DOE,

∴∠BOE=∠DOE,

∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE,

又∠HOD=2∠A,

∴∠BOE=∠A,

∴OE∥AD,

而O是AB的中点,

故OE是△ABC的中位线

4、证明：连接OD、OE、CD

∵BC是直径

∴∠BDC=90°

∵E是AC中点

∴ED=EC

∵OC=OD,OE=OE

∴△ODE≌△OCE

∴∠ODE=∠OCE=90°

∴OD⊥DE

∴DE是圆O的切线.