Question

设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．

Answer 1

解题思路：（1）利用D²+E²-4F＞0，可得不等式，解不等式可求m的取值范围；

（2）对圆的半径表达式配方，可求圆的半径最大值；

（3）用参数表示出圆心坐标，消去参数，可得圆心的轨迹方程．

（1）由D²+E²-4F＞0得：4（m+3）²+4（1-4m²）²-4（16m⁴+9）＞0，（2分）

化简得：7m²-6m-1＜0，解得−

1

7＜m＜1．（4分）

所以m的取值范围是（−

1

7，1）（5分）

（2）因为圆的半径r＝

1

2

D2+E2−4F＝

−7m2+6m+1＝

−7(m−

3

7)2+

16

7，（7分）

所以，当m＝

3

7时，圆的半径最大，最大半径为rmax＝

4

7

7．（9分）

（3）设圆心C（x，y），则

x＝m+3

y＝4m2−1消去m得，y=4（x-3）²-1．（12分）

因为−

1

7＜m＜1，所以

点评：

本题考点： 圆的一般方程．

考点点评： 本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查配方法的运用，确定圆心坐标与半径是关键．