解题思路:①根据点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=2,OB=4,可得A点坐标(2,0)B点坐标(0,4),再根据P为线段AB的中点,可得P点坐标(1,2),根据反比例函数y=[k/x]的图象经过P点,利用待定系数法可得K=2;
②根据Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点,设Q点(a,[2/a]),经过点Q的直线交x轴于点C,交y轴于点D,且QC=QD,Q为CD的中点可得C、D点坐标,再根据三角形面积公式,可得S△COD=[1/2]×2a×[4/a]=4;
③根据OP=OQ可得Q(2,1),即当点Q的坐标是(2,1)时,该结论才成立;
④根据两直线中K相等B不相等两直线平行,即kad=-[2/a];kcb=-[2/a],
k
ad
=
k
cb
,可得AD∥CB.
①∵在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=2,OB=4,
∴A点坐标(2,0)B点坐标(0,4),
∵P为线段AB的中点,
∴P点坐标(1,2),
∵反比例函数y=[k/x]的图象经过P点,
∴2=[k/1],∴K=2,原说法正确,故①符合题意;
②由Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点,设Q点(a,[2/a]),
∵经过点Q的直线交x轴于点C,交y轴于点D,且QC=QD,Q是CD的中点,
∴C(2a,0)D(0,[4/a])
S△COD=[1/2]×2a×[4/a]=4,原说法正确,故②符合题意;
③设Q点为(a,[2/a]),
由OP=OQ即
(0-1)2+(0-2)2=
(0-a)2+(0-
2
a)2,
解得a=±2或a=±1,
即Q(2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2)
∵反比例函数y=[k/x]的图象位于第一象限,
∴Q(-2,-1),(-1,-2)不在反比例函数y=[k/x]的图象上,
∵点Q异于点P(1,2),存在Q点(2,1)在反比例函数y=[k/x]的图象上,
∴只有当点Q的坐标是(2,1)时,OP=PQ才成立,故③不符合题意;
④∵kad=-[2/a];kcb=-[2/a],kad=k cb,
∴AD∥CB,原说法正确,故④符合题意.
故应该选:C.
点评:
本题考点: 反比例函数综合题.
考点点评: 本题考查了反比例函数图象上的点满足解析式,以解析式为坐标的点在反比例函数的图象上,待定系数法求解析式,直线解析式中k相等b不相等时,两直线平行.要注意认真分析每一结论,得出正确答案.