(2012•南湖区二模)如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=2,

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  • 解题思路:①根据点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=2,OB=4,可得A点坐标(2,0)B点坐标(0,4),再根据P为线段AB的中点,可得P点坐标(1,2),根据反比例函数y=[k/x]的图象经过P点,利用待定系数法可得K=2;

    ②根据Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点,设Q点(a,[2/a]),经过点Q的直线交x轴于点C,交y轴于点D,且QC=QD,Q为CD的中点可得C、D点坐标,再根据三角形面积公式,可得S△COD=[1/2]×2a×[4/a]=4;

    ③根据OP=OQ可得Q(2,1),即当点Q的坐标是(2,1)时,该结论才成立;

    ④根据两直线中K相等B不相等两直线平行,即kad=-[2/a];kcb=-[2/a],

    k

    ad

    =

    k

    cb

    ,可得AD∥CB.

    ①∵在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=2,OB=4,

    ∴A点坐标(2,0)B点坐标(0,4),

    ∵P为线段AB的中点,

    ∴P点坐标(1,2),

    ∵反比例函数y=[k/x]的图象经过P点,

    ∴2=[k/1],∴K=2,原说法正确,故①符合题意;

    ②由Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点,设Q点(a,[2/a]),

    ∵经过点Q的直线交x轴于点C,交y轴于点D,且QC=QD,Q是CD的中点,

    ∴C(2a,0)D(0,[4/a])

    S△COD=[1/2]×2a×[4/a]=4,原说法正确,故②符合题意;

    ③设Q点为(a,[2/a]),

    由OP=OQ即

    (0-1)2+(0-2)2=

    (0-a)2+(0-

    2

    a)2,

    解得a=±2或a=±1,

    即Q(2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2)

    ∵反比例函数y=[k/x]的图象位于第一象限,

    ∴Q(-2,-1),(-1,-2)不在反比例函数y=[k/x]的图象上,

    ∵点Q异于点P(1,2),存在Q点(2,1)在反比例函数y=[k/x]的图象上,

    ∴只有当点Q的坐标是(2,1)时,OP=PQ才成立,故③不符合题意;

    ④∵kad=-[2/a];kcb=-[2/a],kad=k cb,

    ∴AD∥CB,原说法正确,故④符合题意.

    故应该选:C.

    点评:

    本题考点: 反比例函数综合题.

    考点点评: 本题考查了反比例函数图象上的点满足解析式,以解析式为坐标的点在反比例函数的图象上,待定系数法求解析式,直线解析式中k相等b不相等时,两直线平行.要注意认真分析每一结论,得出正确答案.