Question

已知函数f（log a x）= a a-1 （x- 1 x ）（a＞0且a≠1）．

Answer 1

（1）令log _ax=t，则x=a ^t，

∴ f(t)=

a

a-1 ( a t -

1

a t )

∴ f(x)=

a

a-1 ( a x -

1

a x )，x∈R _{-----------------------------------------------}（4分）

因为 f(-x)=

a

a-1 ( a -x -

1

a -x )=-f(x)

∴f（x）为奇函数 _{-------------------}（6分）

（2）因为∀x ₁，x ₂∈R当x ₁＜x ₂时都有f（x ₁）＜f（x ₂）成立，

所以f（x）在R上单调递增 _{------------------------------}（8分）

由f（1-m）+f（m ²-1）＜0得f（m ²-1）＜-f（1-m），

又f（x）为奇函数，

∴-f（1-m）=f（m-1），即f（m ²-1）＜f（m-1）， _{------------------------------}（10分）

由f（x）在R上单调递增得m ²-1＜m-1，

即m ²＜m解得0＜m＜1

故实数m的取值范围为（0，1） _{------------------------------}（12分）