15.设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段弧,其弦长之比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为√5/

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  • 已知圆满足①截Y轴所得弦长为2 ②被X轴分成两段圆弧,其弧长的比为3 :1 ③圆心到直线L:X-2Y=0的距离为√5/5,求圆的方程

    设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=R².(1)

    圆心M(a,b)到直线x-2y=0的距离为√5/5,故有等式:

    |a-2b|/√5=√5/5,故

    a-2b=-1.(2)

    或a-2b=1.(3)

    设圆与Y轴的交点为(0,y1)和(0,y2),将x=0代入(1)式,得:

    y²-2by+a²+b²-R²=0

    因“圆截Y轴所得弦长为2”,即|y1-y2|=2.按韦达定理,有等式:

    (y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2

    =4b²-4(a²+b²-R²)

    =4(R²-a²)=4

    于是得:R²-a²=1.(4)

    又“被X轴分成两段圆弧,其弧长的比为3 :1”,设劣弧S1所对的圆心

    角为θ1,优弧S2所对的圆心角为θ2,则

    S2/S1=Rθ2/Rθ1=θ2/θ1=3/1,故θ1=90˚,θ2=270˚.

    设圆弧与X轴相交于A,B两点,则△AMB是等腰直角三角形,因此弦

    长|AB|=|X1-X2|=(√2)R.

    令(1)式中的y=0,便得:

    x²-2ax+a²+b²-R²=0

    于是由韦达定理有:

    (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=4a²-4(a²+b²-R²)

    =4(R²-b²)=2R²

    即R²-2b²=0.(5)

    由(2)(4)(5)联立解得:a=1,b=1,R²=2.

    此时圆的方程为:(x-1)²+(y-1)²=2

    由(3)(4)(5)联立解得:a=-1,b=-1,R²=2.

    此时圆的方程为:(x+1)²+(y+1)²=2

    新年快乐!学习更上一层楼!