Question

一道函数难题,求速解已知函数f(x)=x^3-tx-ln(√（x^2+1）-x),对于任意实数a、b（a+b≠0）,都有

Answer 1

易知f(x)是奇函数.令a=0,得不等式为f(b)/b^30成立,即

b^3--tb+ln(√（b^2+1）+b)0成立,因此

g(b)=--tb+ln(√（b^2+1）+b)满足g'(b)=--t+1/√（b^2+1）=1.下面证明当t>=1时条件不等式成立.

不妨设b+a>0(b+a--a,已经知道h(--a)=0,

h'(x)=t--1/√（x^2+1）>0,故h(x)是严格递增函数,

于是h(x)在x>--a时有h(x)>h(--a)=0,于是有

h(b)>h(--a)=0,即得要证不等式成立.