1.这里not...but..是强调他们不住在自己的web里（强调的是地点而不是动词live),并没有语法错误,你改成don't live的话前半句意思还一样,后半句就不对了,除非再把后半句改成一句话but they rather live in...但是那样不是很繁琐吗?
2.on the verge of...固定搭配,不能用to disappear,固定搭配神马的最后几道经常出现,可以去背,至于manage to为什么要被动?作品设法保持了popularity我觉得没有错,从来没有见过are managed to.主语就是作品吧,不是人,那就不需要被动.
3.这里that指代annual visitors,of表示从属关系,不是看平行,你要说annual visitors to mount rushmore也是对的,但是这句话没错而且简洁.
4.对的,to do sth is to do sth,经常考的结构
我觉得你的问题不是多做题可以解决的,很多用法都是常见的,最好加大英文阅读量,如果没时间可以去上课,老师会总结语法常考的点.其实大部分人都是这样的,我也在学习中,大家共同进步吧.祝你sat考得好~