Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足S1＞1，且6Sn＝(an+1)(an+2)，n∈N*，则数列{an

Answer 1

解题思路：由已知可得6S_n-1=（a_n-1+1）（a_n-1+2），两式相减可得，a_n-a_n-1=3，结合等差数列的通项公式可求

∵6Sn＝(an+1)(an+2)，n∈N*

∴6S_n-1=（a_n-1+1）（a_n-1+2）

两式相减可得，6S_n-6S_n-1

=an2+3an+2−an−12−3an−1−2

∴6a_n=an2+3an+2−an−12−3an−1−2

∴an2−an−12−3an−3an−1＝0

∴（a_n-a_n-1-3）（a_n+a_n-1）=0

∵a_n＞0

∴a_n-a_n-1=3

∵6S₁=（a₁+1）（a₁+2），S₁＞1

∴a₁=2

∴{a_n}是以2为首项，以3为公差的等差数列

∴a_n=2+3（n-1）=3n-1

故答案为：3n-1

点评：

本题考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了利用递推公式an＝S1，n＝1Sn−Sn−1，n≥2求解数列的通项公式，属于基础试题