Question

设函数 f(x)=-co s 2 x-4tsin x 2 cos x 2 +4 t 3 + t 2 -3t+4，x∈R

Answer 1

（1）由题意得数 f(x)=-co s 2 x-4tsin

x

2 cos

x

2 +4 t 3 + t 2 -3t+4

=sin ²x-1-2tsinx+4t ³+t ²-3t+4=（sinx-t） ²+4t ³-3t+4，

又由|t|≤1，可得，当sinx=t时，（sinx-t） ²取得最小值，

此时函数f（x）取得最小值，即g（x）=4t ³-3t+4，

（2）g（x）=4t ³-3t+4，则g′（x）=12t ²-3t，t∈（-1，1），

令g′（x）=0可得t=±

1

2 ，

列表如下：

t （-1，-

1

2 ） -

1

2 （-

1

2 ，

1

2 ）

1

2 （

1

2 ，1）

g′（t） + 0 - 0 +

g（t） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 易得g（x）在区间（-1，-

1

2 ）和（

1

2 ，1）上为增函数，在区间（-

1

2 ，

1

2 ）上为减函数，

当t=-

1

2 时，g（t）取极大值为4，

当t=

1

2 时，g（t）取极小值为2．