Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），以AB为直径在x轴的上方作半圆O，点C是该半圆上

Answer 1

解题思路：（1）直接根据A、B两点的坐标求出AB的长，连接OC，再根据∠CAB=30°求出∠BOC的度数，由弧长公式即可得出结论；

（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DBE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；

（3）设E（x，y），由（2）知[AB/BC]=[DB/BE]，2BC²=AB•BE，BD=2BC，再分△OEF∽△DEB与△FEO∽△DEB两种情况讨论即可．

（1）∵点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），

∴AB=10．

连接OC，

∵∠CAB=30°，

∴∠BOC=60°，

∴

BC=[60π×5/180]=[5π/3]；

（2）∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠AEF=90°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AC=90°，

∴∠DEB=∠ACB=∠AEF．

∵∠AFE=∠CFD，

∴∠FAE=∠EDB，

∴△ABC∽△DBE，

∴[AB/BC]=[DB/BE]，

∵BC=CD，

∴[10/BC]=[2BC/10−6]，解得BC=2

5；

（3）设E（x，y），

∵[AB/BC]=[DB/BE]，

∴2BC²=AB•BE，即BC=

−5x+25，

∴BD=2BC=2

−5x+25．

当△OEF∽△DEB时，∠OFE=∠DBE，

∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠EFC=180°，

∴∠AFE=∠DBE，

∴∠OFE=∠AFE，

∵∠AFE＞∠OFE，

∴此种情况不成立；

当△FEO∽△DEB时，∠OFE=∠BDE=∠FAE，

∴△FAE∽△OFE∽△BDE，则[AE/EF]=[EF/OE]，[OF/BD]=[OE/BE]，即[5+x/y]=[y/x]，

∴y²=x²+5x①，

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查的是圆的综合题，熟知相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质是解答此题的关键．