Question

（2001•北京）已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，

Answer 1

解题思路：（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x₁+x₂的和x₁x₂的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围

（2）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x₃，y₃），则由中点坐标公式求得x₃的坐标，进而求得QM的长度．根据△MNQ为等腰直角三角形，求得QN的长度，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．

（1）直线l的方程为y=x-a

将y=x-a代入y²=2px，

得x²-2（a+p）x+a²=0．

设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

则

4(a+p)2−4a2＞0

x1+x2＝2(a+p)

x1x2＝a2

又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，

∴| AB |＝

(x1−x2)2+(y1−y2)2=

2[(x1+x2)2−4x1x2]=

8p(p+2a).

∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，

∴0＜

8p(p+2a)≤2p．

解得−

p

2＜a≤−

p

4．

（2）设AB的垂直平

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．