Question

（1/n+1）*(1+1/3+1/5+…+1/2n-1)>=(1/n)*(1/2+1/4+…1/2n) 请用放缩法求证,

Answer 1

n>=2时

1/2>=1/2>1/4>1/6>.1/2n

所以

n/2>1/2+1/4+...+1/2n

那么肯定有：

n/2+n/12+n/30+...n/(2n*(2n-1))>1/2+1/4+...+1/2n

而 1/(2n*(2n-1))=1/(2n-1)-1/2n

所以

n/2+n/12+n/30+...n/(2n*(2n-1))

=n(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+.+1/(2n-1)-1/2n)

=n(1+1/3+1/5+...+1/(2n-1))-n(1/2+1/4+...+1/2n)>1/2+1/4+...+1/2n

即

n(1+1/3+1/5+...+1/(2n-1))>(n+1)(1/2+1/4+...+1/2n)

也就是

(1/(n+1))*(1+1/3+1/5+...+1/(2n-1))>(1/n)*(1/2+1/4+...+1/2n)