求二次函数解析式的若干思路
二次函数是初中数学主要内容之一,也是联系高中数学的重要纽带.它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点,求二次函数的解析式又是重点.求二次函数的解析式,应恰当地选用二次函数解析式的形式,选择得当,解题简捷,若选择不当,解题繁琐.解题时,应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式,运用待定系数法求解.下面举例说明.
思路1、已知图象过三点,求二次函数的解析式,一般用它的一般形式：较方便.
例1、已知二次函数的图象过（－1,－9）、（1,－3）和（3,－5）三点,求此二次函数的解析式.
设此二次函数的解析式为 ,由题意得：
解之得
∴所求的二次函数的解析式为
思路2、已知顶点坐标,对称轴、最大值或最小值,求二次函数解析式,一般用它的顶点式 较方便.
例2、已知抛物线的顶点（－1,－2）且图象经过（1,10）,
设抛物线 ,由题意得：
∵抛物线过点（1,10）
即解析式为
思路3、已知图象与 轴两交点坐标,可用 的形式,其中 、 为抛物线与 轴的交点的横坐标,也是一元二次方程 的两个根.
例3、已知二次函数的图象与 轴的交点为（－5,0）,（2,0）,且图象经过（3,－4）,
∵图象经过（3,－4）
∴ ∴
即：
则所求解析式为 .
思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ,可用 的形式来求,其中 为两交点之间的距离,为其中一个与 轴相交的交点的横坐标.
例4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2,且过（2,1）、（－1,－8）两点,求此二次函数的解析式.
设二次函数解析式为 由已知
∴
又由已知得：
解之得：或
∴所求二次函数解析式为：
思路5、由已知图象的平移求解析式,一般是把已知图象的解析式写成 的形式,若图象向左（右）移动 个单位,括号里 的值就加（减） 个单位；若图象向上（下）平移 个单位,的值就加（减） 个单位,即左加右减,上加下减,平移后的抛物线形状不变,大小不变.
例5、把二次函数 的图象向右平移 个单位,再向上平移 个单位,求所得二次函数的解析式.
向右平移2个单位得：
即：
再向上平移3个单位得：
即：
∴所求二次函数解析式为 .
思路6、已知一个二次函数 ,要求其图象关于 轴对称（也可以说沿 轴翻折）； 轴对称及经过其顶点且平行于 轴的直线对称,（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式,先把原函数的解析式化成 的形式.
（1）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称,两个图象的开口方向相反,即 互为相反数.
（2）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称,两个图象的形状大小不变,即 相同.
（3）关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变,开口方向相反,即 互为相反数.
例6；已知二次函数 ,求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于 轴对称；（2）图象关于 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称.
可转化为 ,据对称式可知①图象关于 轴对称的图象的解析式为 ,即：.
②图象关于 轴对称的图象的解析式为：
,即：；
③图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的图象的解析式为 ,即 .
思路7、数形结合式的二次函数的解析式的求法,此种情况是融代数与几何为一体,把代数问题转化为几何问题来解决,只要充分运用有关几何知识即可达目的.
例7、设二次函数 图象与 轴交于两点 、 ,与 轴交于点 ,若 ,求此二次函数的解析式.
在 中,
∵
∴
又∵
∴RtΔOBC∽RtΔABC,RtΔOAC∽RtΔABC,
RtΔOAC∽RtΔOBC
∴
∴
设所求的抛物线解析式为 ,即
即 ,得：
所以所求抛物线为：
思路8、对于综合式的二次函数解析式的求法,以二次函数为背景来设计的综合题大多作为中考的压轴题,是用来拉开分数档次的试题,它一般以二次函数为中心,与代数、几何、三角等知识进行有机地融合.此种题型集初中代数、几何、三角等知识于一身,沟通了许多知识点之间的纵横联系,解题时,要根据几何图形的有关性质,建立等量关系,求出函数关系式或由函数图象中的几何图象,运用数形综合方法解决有关函数几何问题.只要将各知识点的问题予以解决即可求解.
例8、如图,EB是半圆O的直径,EB=6,在BE的延长线上取点P,使EP=EB,A是EP上一个动点（A点与E点不重合）,过A作⊙O的切线AD,切点为D,过D作DF⊥AB,垂足为F,过B作AD的垂线BH交AD的延长线于点H,连结ED和FH,设 ,求 与 的函数关系式,并写出自变量 的取值范围.
连结BD
∵EB是半圆O的直径
∴∠EDB=90°
∴
∵BH⊥DA
∴∠BHD=90°
∵AH为⊙O的切线
∴∠BDH=∠DEB
∴RtΔBDH∽RtΔBED
∴
∴
∴
由条件 ,与A与P重合时,有
∴
又∵ΔPDE∽ΔPBD
∴
∴
则自变量 的取值范围为 .