Question

（2009•烟台二模）已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3•a4=117，a2+a5=22．

Answer 1

（1）a_n为等差数列，a₃•a₄=117，a₂+a₅=22

又a₂+a₅=a₃+a₄=22

∴a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的两个根，d＞0

∴a₃=9，a₄=13

∴

a1+2d＝9

a1+3d＝13

∴d=4，a₁=1

∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3

（2）由（1）知，sn＝n+

n(n−1)×4

2＝2n2−n

∵bn＝

sn

n+c＝

2n2−n

c+n

∴b1＝

1

1+c，b2＝

6

2+c，b3＝

15

3+c，

∵b_n是等差数列，∴2b₂=b₁+b₃，∴2c²+c=0，

∴c＝−

1

2（c=0舍去），

当c＝−

1

2时，b_n=2n为等差数列，满足要求．

（3）由（2）得bn＝

2n2−n

n−

1

2＝2n，Tn＝2n+

n(n−1)×2

2＝n2+n＝(n+1)n

2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4≥4，

但由于n=1时取等号，从而等号取不到2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4＞4，

∴

64bn

(n+9)bn+1＝

64×2n

(n+9)•2(n+1)＝

64n

n2+10n+9＝

64

n+

9

n+10≤4，

n=3时取等号（15分）

（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以2Tn−3bn−1＞

64bn

(n+9)bn+1．