Question

若曲线mx^2+ny^2=1（m>0,n>0)与直线x+y-1=0相交于A,B两点.

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)

则OA={x1-0,y1-0}={x1,y1}

OB={x2,y2}

OM={x0,y0}

OA+OB={x1+x2,y1+y2}

由已知：OM=(1/2)*(OA+OB)

{x0,y0}={(x1+x2)/2,(y1+y2)/2}

x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2

而直线OM的倾斜角为π/6

∴其斜率k=tan(π/6)=√3/3

而k又可表示为：

k=(y0-0)/(x0-0)=y0/x0=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=(y1+y2)/(x1+x2)

∴(y1+y2)/(x1+x2)=√3/3 ①

A,B两点为曲线mx^+ny^=1与直线x+y-1=0的两个交点,必有：

y1=1-x1

y2=1-x2

y1+y2=2-(x1+x2) ②

联立mx^+ny^=1与x+y-1=0,消去y,可得到关于x的一元二次方程：

(m+n)x^-2nx+(n-1)=0

由此可知,此方程的两个实根必然是A,B两点的横坐标x1,x2

∴x1+x2=2n/(m+n) ③

将③代入②式,可得：

y1+y2=2m/(m+n) ④

将③,④同时代入①,可得：

[2m/(m+n)]/[2n/(m+n)]=√3/3

m/n=√3/3

∴n/m=√3