1、电场力对电荷做的功,等于此电荷在该电场力作用下电势能的变化.不妨这样假设,所有电荷自外层到内层,逐层运动到表面上,则对某一些电荷来说,只有内部的电荷对它有电场力的作用,也就只需考虑“内部”电荷所产生的电场中电势能的变化.在半径为r处的电荷,运动到半径为R处,电场力做的功就等于它在半径为r的球体内电荷所产生的电场中电势能的变化量.
球体原带电密度为ρ=Q/(4πR³/3)
一个半径为r的均匀带电的球体,在r处电势为kq/r=kr²Q/R³,则电荷q运动到球体表面,电势能变化为qkQ(r²-R²)/R³
考虑在距球心距离为r,厚度为dr的一个薄球壳,电量为dq=4πr²ρdr=3Qr²dr/R³,则电场力对它做功为3Qr²drkQ(r²-R²)/R^6,对dr由0到R积分,得电场力做的总功为2kQ²/(5R)
2、
同轴圆柱形电容器,电场是不均匀的,内圆筒表面场强E最大,设单位长带电荷λ：
由高斯定理可以得到:E=λ/2πεr
则内外圆筒间电压U=(λ/2πε)ln(R2/R1)
所以,E=U/rlnR/r
当U为电容器的耐压值,E即击穿场强.r,R是内外圆筒半径.已经E,R,对U关于r求极值,得r=R/e,Umax=ER/e=294.3KV