Question

设f（0）的二阶导数存在,且f(0)=0,g(x)=f(x)/x (x≠0时) g(x)=f（0）的导数（x=0时）,则

Answer 1

g(0)=f'(0)

按照定义 g'(0)=lim(x->0)[g(x)-g(0)]/[x-0]

=lim(x->0)[f(x)/x-f'(0)]/x

=lim(x->0)[f(x)-xf'(0)]/x²

当x趋向于0时 f(x)->f(0)=0

xf'(x)->0

x->0

所以运用罗比他法则

上下同时求导

g'(0)= lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)

因为此时当x趋向于0时 f'(x)-f'(0)->0

所以再一次罗比他法则

得 g'(0)= lim(x→0) [f'‘(x)]/2

=(1/2)f''(0)