Question

二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），满足f（x+1）为偶函数，且方程f（x）=x有相等实根．

Answer 1

解题思路：（1）由f（x+1）为偶函数，得f（-x+1）=f（x+1），且f（x）=x有相等实根，可得a、b的值；

（2）因f（x）的图象是抛物线，讨论对称轴在[m，m+1]内，还是在[m，m+1]左，右？根据单调性可求得f（x）在[m，m+1]上的最值．

（1）∵f（x+1）为偶函数，

∴f（-x+1）=f（x+1），即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1），整理，得2a+b=0①；

又∵f（x）=x有相等实根，即ax²+bx=x有相等实根，

∴b=1，从而解得a=-[1/2]；

∴f（x）=-[1/2]x²+x；

（2）∵f（x）=-[1/2]x²+x的图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x=1；

∴当m+1≤1，即m≤0时，f（x）在[m，m+1]上是增函数，

∴f（x）_max=f（m+1）=-[1/2]m²+[1/2]；当

1＜m+1

m＜1，即0＜m＜1时，在[m，m+1]上先增或减，

∴f（x）_max=f（1）=[1/2]；当m≥1时，在[m，m+1]上是减函数，

∴f（x）_max=f（m）=-[1/2]m²+m；

综上，知f（x）在[m，m+1]上的最大值是：当m≤0时，f（x）_max=-[1/2]m²+[1/2]；当0＜m＜1时，f（x）_max=[1/2]；当m≥1时，f（x）_max=-[1/2]m²+m．

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性，一元二次方程有相等实根和二次函数在可变闭区间上的最值问题，是中档题．