Question

已知函数f（x）=x2+bx+c（其中b，c为实常数）．

Answer 1

解题思路：（1）问题转化为二次函数y=x²+bx+c在给定区间[-1，1]上的最值问题，即要判断函数在[-1，1]上的单调性，继而得到函数y=f（x）的解析式；

（2）问题转化为二次函数y=x²+bx+c的定义域与值域为[-1，0]，通过对参数b分类讨论，得到关于b与c的关系式，继而得到函数y=f（x）的解析式；

（3）先证明：如果f（x）没有不动点x₀，即不存在x₀使得f（x₀）=x₀，再证明若f（x）有唯一不动点，则F（x）也有唯一不动点，可得答案．

（1）由条件知f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]的最大值为5，最小值为-1

而b＞2，则对称轴x=-[b/2]＜-1，

则

f(−1)＝−1

f(1)＝5，即

c−b+1＝−1

b+c+1＝5，

解得

b＝3

c＝1

则f（x）=x²+3x+1．

（2）①若b≥2，则x=-[b/2]≤-1，

则

c−b+1＝−1

c＝0

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题以二次函数为载体，考查函数与方程的综合运用，考查二次函数解析式的常用解法及分类讨论，转化思想，充分利用二次函数的性质是解题的关键．