如图,已知△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边三角形.

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  • 解题思路:(1)根据等边三角形性质得出AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠B=∠PAQ=60°,求出∠BAP=∠CAQ,根据SAS证△ABP≌△ACQ,推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC,根据平行线的判定推出即可.

    (2)根据等腰三角形性质求出∠BAP=30°,求出∠BAQ=90°,根据平行线性质得出∠AQC=90°,即可得出答案.

    (1)证明:∵△ABC和△APQ是等边三角形,

    ∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠B=∠PAQ=60°,

    ∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC,

    在△ABP和△ACQ中

    AB=AC

    ∠BAP=∠CAQ

    AP=AQ

    ∴△ABP≌△ACQ(SAS),

    ∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC,

    ∴AB∥CQ.

    (2)AQ与CQ能互相垂直,此时点P在BC的中点,

    证明:∵当P为BC边中点时,∠BAP=[1/2]∠BAC=30°,

    ∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°,

    又∵AB∥CQ,

    ∴∠AQC=90°,

    即AQ⊥CQ.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 本题考查了等边三角形性质,全等三角形的性质和判定,平行线性质和判定,等腰三角形性质的应用,主要考查学生的推理能力.