Question

定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，

Answer 1

解题思路：（1）当m=1时，

f(x)＝

1−

2

x

1+

2

x

=

2

1+

2

x

−1

，易求值域f（x）∈（0，1），并判断为f（x）在（-∞，0）上是为有界函数．

（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．转化为不等式（组）恒成立问题．

（1）当m=1时，f(x)＝

1−2x

1+2x=

2

1+2x−1

∵x＜0，∴0＜2^x＜1，

∴f（x）∈（0，1），满足|f（x）|≤1，

f（x）在（-∞，0）上是为有界函数．

（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．

∴-3≤f（x）≤3，即-3≤

1−m•2x

1+m•2x≤3，

1−m•2x

1+m•2x−3≤0

1−m•2x

1+m•2x+3≥0化简得

m•2x+2+2

1+m•2x≥0

m•2x+1+4

1+m•2x≥0，即

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查函数值域求解，恒成立问题．考查转化、计算能力．