Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，点O是BD中点．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在正方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中，点O是BD中点，

∵BC ₁=DC ₁，BC=DC，

∴C ₁O⊥BD，CO⊥BD-------------------（2分）

∵C ₁O∩CO=O，C ₁O⊂平面C ₁OC，CO⊂平面C ₁OC，

∴BD⊥平面C ₁OC------------------（5分）

∵BD⊂平面BDD ₁B ₁，∴平面BDD ₁B ₁⊥平面C ₁OC．--------------（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C ₁OC是二面角C ₁-BD-C的平面角---------------（11分）

则

C 1 C=1，OC=

2

2

∴在Rt△C ₁OC中， tan∠ C 1 OC=

C 1 C

OC =

2

故二面角C ₁-BD-C的正切值为

2 ．---------------（14分）