(1)直线y=-1/2x+3与y轴交于A(0,3),
抛物线y=-1/2x^2+bx+c的图像过点A,B(4,1),
∴c=3,1=-8+4b+3,b=3/2,
∴抛物线的函数解析式是y=(-1/2)x^2+(3/2)x+3.
(2)1.AB的斜率=-1/2,AC的斜率=2,AC:y=2x+3交x轴于C(-3/2,0).
2.抛物线的对称轴L:x=3/2,A关于L的对称点是A'(3,3),
∴△PAC的周长=AC+PA+PC=AC+PA'+PC>=AC+A'C,当A',P'C三点共线时取等号.这时PA+PC=A'C=3√13/2.
3.设Q(3/2,q),△QAB为直角三角形:
i)AB为斜边,9/4+(q-3)^2+25/4+(q-1)^2=16+4,2q^2-8q-3/2=0,q=(4土√19)/2,Q(3/2,(4土√19)/2).
ii)QA为斜边,
iii)QB为斜边,
剩下部分留给您练习.