求证:不论n为怎样的整数,n(n+1)(2n+1)6的计算结果都是整数.

4个回答

  • 解题思路:首先证明n(n+1)(2n+1)能被2整除,再分情况讨论证明n(n+1)(2n+1)能被3整除从而得出n(n+1)(2n+1)能被6整除.

    ∵n(n+1)是两个连续的整数,必有一个偶数,

    所以n(n+1)(2n+1)必定能被2整除,

    现在证明他也能被3整除,

    再考虑n,∵k表示整数,

    ①n=3k

    显然n(n+1)(2n+1)能被3整除,

    ②n=3k+1,

    ∴2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),能被3整除,

    显然n(n+1)(2n+1)能被3整除,

    ③n=3k+2,

    n+1=3k+3能被3整除,

    显然n(n+1)(2n+1)能被3整除,

    综上所述:

    n(n+1)(2n+1)能被6整除.

    即不论n为怎样的整数,

    n(n+1)(2n+1)

    6的计算结果都是整数.

    点评:

    本题考点: 因式分解的应用.

    考点点评: 此题主要考查了因式分解的应用,根据已知分别得出n(n+1)(2n+1)能被2整除以及n(n+1)(2n+1)能被3整除是解题关键.