解题思路:首先证明n(n+1)(2n+1)能被2整除,再分情况讨论证明n(n+1)(2n+1)能被3整除从而得出n(n+1)(2n+1)能被6整除.
∵n(n+1)是两个连续的整数,必有一个偶数,
所以n(n+1)(2n+1)必定能被2整除,
现在证明他也能被3整除,
再考虑n,∵k表示整数,
①n=3k
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除,
②n=3k+1,
∴2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),能被3整除,
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除,
③n=3k+2,
n+1=3k+3能被3整除,
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除,
综上所述:
n(n+1)(2n+1)能被6整除.
即不论n为怎样的整数,
n(n+1)(2n+1)
6的计算结果都是整数.
点评:
本题考点: 因式分解的应用.
考点点评: 此题主要考查了因式分解的应用,根据已知分别得出n(n+1)(2n+1)能被2整除以及n(n+1)(2n+1)能被3整除是解题关键.