已知抛物线y2=4x及点P(2,2),直线l的斜率为1且不过点P,与抛物线交于点A,B,

3个回答

  • 解题思路:(1)设直线l的方程为y=x+b(b≠0),将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合方程有两个实根的条件:△>0,解决问题.

    (2)设A,B坐标分别为

    (

    m

    2

    4

    ,m),(

    n

    2

    4

    ,n)

    ,因为AB斜率为1,得出m,n的关系式,再结合B、P、D共线,利用直线斜纺的关系得直线AD的方程,最后令x=0时,即直线AD与y轴的交点为(0,2),同理可得BC与y轴的交点也为(0,2),从而解决问题.

    (1)设直线l的方程为y=x+b(b≠0),由于直线不过点P,因此b≠0

    y=x+b

    y2=4x得x2+(2b-4)x+b2=0,由△>0,解得b<1

    所以,直线l在y轴上截距的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)

    (2)设A,B坐标分别为(

    m2

    4,m),(

    n2

    4,n),因为AB斜率为1,所以m+n=4,

    设D点坐标为(

    yD2

    4,yD),因为B、P、D共线,所以kPB=kDP,得yD=

    8−2n

    2−n=

    2m

    m−2

    直线AD的方程为y−m=

    yD−m

    yD2

    4−

    m2

    4(x−

    m2

    4)

    当x=0时,y=

    my D

    yD+m=

    2m2

    2m+m2−2m=2

    即直线AD与y轴的交点为(0,2),同理可得BC与y轴的交点也为(0,2),

    所以AD,BC交于定点(0,2).

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本小题主要考查抛物线的标准方程、直线的方程、线与圆锥曲线的综合问题等基础知识,考查运算求解能力,考查方程思想、化归与转化思想.属于基础题.