Question

已知f(x)=log a x(a＞0且a≠1)，设f(a 1 ),f(a 2 ),…,f(a n ) (n∈N * )是

Answer 1

（1）证明见解析（2）S _n=n·2 ⁿ⁺³

（1）证明 f(a _n)=4+(n-1)×2=2n+2,

即log _aa _n="2n+2, " 2分

可得a _n=a ²ⁿ⁺².

∴

=

=

=a ²（n≥2）为定值. 4分

∴{a _n}为等比数列. 6分

(2)解 b _n=a _nf(a _n)=a ²ⁿ⁺²log _aa ²ⁿ⁺²=(2n+2)a ²ⁿ⁺².

当a=

时，b _n=(2n+2)(

) ²ⁿ⁺²=(n+1)2 ⁿ⁺². 8分

S _n=2·2 ³+3·2 ⁴+4·2 ⁵+…+(n+1)·2 ⁿ⁺²①

2S _n=2·2 ⁴+3·2 ⁵+4·2 ⁶+…+n·2 ⁿ⁺²+(n+1)·2 ⁿ⁺³②

①-②得

-S _n=2·2 ³+2 ⁴+2 ⁵+…+2 ⁿ⁺²-(n+1)·2 ⁿ⁺³

=16+

-(n+1)2 ⁿ⁺³

=16+2 ⁿ⁺³-2 ⁴-n·2 ⁿ⁺³-2 ⁿ⁺³=-n·2 ⁿ⁺³.

∴S _n=n·2 ⁿ⁺³. 14分