Question

如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．

Answer 1

解题思路：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，所以B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，A₁C⊥B₁C₁，由此能够证明AB₁⊥A₁C

（2）连接AC₁交A₁C于O点，连接DO，则O为AC₁的中点，由D为AB中点，知DO∥BC₁，由此能够证明BC₁∥平面A₁CD．

（3）以CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出C₁到平面A₁CD的距离．

（1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，

∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，

∵A₁C⊂平面A₁ACC₁，

∴A₁C⊥B₁C₁，

连接AC₁，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C⊥平面AB₁C₁．

所以AB₁⊥A₁C

（2）证明：连接AC₁交A₁C于O点，连接DO，则O为AC₁的中点，

∵D为AB中点，∴DO∥BC₁，

又∵DO⊂平面A₁CD，BC₁⊄平面A₁CD，

∴BC₁∥平面A₁CD．

（3）以CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，

∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D为AB中点．

∴C（0，0，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），

∴D（1，1，0），

CA1=（2，0，2），

CD=（1，1，0），

CC1＝(0，0，2)，

设平面A₁CD的法向量

n=（x，y，z），则

n•

CA1＝0，

n•

点评：

本题考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．