解题思路:(1)求导函数,可得f′(x)=3x2-2ax-3,利用f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,可得3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,从而可求实数a的取值范围;
(2)依题意x=-[1/3]是f(x)的一个极值点,所以
f′(−
1
3
)=0
,从而可得f(x)=x3-4x2-3x,利用导数确定函数的单调性与极值,从而可求f(x)在[1,4]上的最大值;
(3)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根,即方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根,从而可求实数b的取值范围
(1)求导函数,可得f′(x)=3x2-2ax-3
∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,
∴f′(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
即3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
则必有[a/3≤1且f′(1)=-2a≥0,
∴a≤0(5分)
(2)依题意x=-
1
3]是f(x)的一个极值点,∴f′(−
1
3)=0
即[1/3+
2
3a−3=0
∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x(6分)
令f′(x)=3x2-8x-3=0,得x1=−
1
3,x2=3则
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x 1 (1,3) 3 (3,4) 4
f′(x) - 0 +
f(x) -6 -18 -12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6(10分)
(3)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,
即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根(12分)
∴x3-4x2-3x-bx=0恰有3个不等实根
∵x=0是其中一个根,
∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根,
∴
△=16+4(3+b)>0
−3−b≠0]
∴b>-7,且b≠-3(14分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查函数图象的交点问题,解题的关键是将函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,转化为方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根.