已知函数f(x)=x3-ax2-3x

4个回答

  • 解题思路:(1)求导函数,可得f′(x)=3x2-2ax-3,利用f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,可得3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,从而可求实数a的取值范围;

    (2)依题意x=-[1/3]是f(x)的一个极值点,所以

    f′(−

    1

    3

    )=0

    ,从而可得f(x)=x3-4x2-3x,利用导数确定函数的单调性与极值,从而可求f(x)在[1,4]上的最大值;

    (3)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根,即方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根,从而可求实数b的取值范围

    (1)求导函数,可得f′(x)=3x2-2ax-3

    ∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,

    ∴f′(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,

    即3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,

    则必有[a/3≤1且f′(1)=-2a≥0,

    ∴a≤0(5分)

    (2)依题意x=-

    1

    3]是f(x)的一个极值点,∴f′(−

    1

    3)=0

    即[1/3+

    2

    3a−3=0

    ∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x(6分)

    令f′(x)=3x2-8x-3=0,得x1=−

    1

    3,x2=3则

    当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

    x 1 (1,3) 3 (3,4) 4

    f′(x) - 0 +

    f(x) -6 -18 -12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6(10分)

    (3)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,

    即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根(12分)

    ∴x3-4x2-3x-bx=0恰有3个不等实根

    ∵x=0是其中一个根,

    ∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根,

    △=16+4(3+b)>0

    −3−b≠0]

    ∴b>-7,且b≠-3(14分)

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查函数图象的交点问题,解题的关键是将函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,转化为方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根.