(2011•桂林模拟)已知函数f(x)=[1/3x3−(k+1)2x2,g(x)=13]-kx且f(x)在区间(2,+∞

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  • 解题思路:(1)求出f(x)的导函数,因为f(x)在(2,+∞)上为增函数,所以得到导函数在(2,+∞)上恒大于等于0,列出k与x的不等式,由x的范围即可求出k的取值范围;

    (2)把f(x)和g(x)的解析式代入h(x)中确定出h(x)的解析式,求出h(x)的导函数,令导函数等于0求出此时x的值,然后根据(1)求出的k的范围,分区间讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间,根据函数的增减性求出函数的极小值和极大值,判断得到极小值大于0,所以要使函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即要极大值也要大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到实数k的取值范围.

    (1)由题意f′(x)=x2-(k+1)x,

    因为f(x)在区间(2,+∞)上为增函数,

    所以f′(x)=x2-(k+1)x≥0在(2,+∞)上恒成立,即k+1≤x恒成立,

    又x>2,所以k+1≤2,故k≤1,

    当k=1时,f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1在x∈(2,+∞)恒大于0,故f(x)在(2,+∞)上单增,符合题意.

    所以k的取值范围为k≤1.

    (2)设h(x)=f(x)−g(x)=

    x3

    3−

    (k+1)

    2x2+kx−

    1

    3,

    h′(x)=x2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1),

    令h′(x)=0得x=k或x=1,由(1)知k≤1,

    ①当k=1时,h′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上递增,显然不合题意;

    ②当k<1时,h(x),h′(x)随x的变化情况如下表:

    由于[k−1/2]>0,欲使f(x)与g(x)图象有三个不同的交点,

    即方程f(x)=g(x),也即h(x)=0有三个不同的实根.

    故需−

    k3

    6+

    k2

    2−

    1

    3>0即(k-1)(k2-2k-2)<0,

    所以

    k<1

    k2−2k−2>0,解得k<1−

    3.

    综上,所求k的范围为k<1−

    3.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 此题考查利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,考查了分类讨论的数学思想,是一道综合题.