Question

如图在直角坐标系中，A（-2，0），B（8，0），以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD交y轴

Answer 1

解题思路：（1）易得正方形的边长等于点B的横坐标减去点A的横坐标．

（2）连接PC，PM，可利用勾股定理求得PC²长，CM²长，进而利用勾股定理可求得∠PMC=90°，那么是切线．

（3）注意分情况探讨内切，外切，点的不同位置等多种情况．

（1）8-（-2）=10；

（2）连接PC、PM，AM、BM，

则∠AMB=90°（直径所对的圆周角等于90°），

故可得△AMO∽△MBO，

∵BC=10，PB=5，

∴CP²=BC²+PB²=125，

∵OA=2，OB=8，

∴OM²=OA•OB=16，

∴OM=4

∵EM=6，EC=8，

∴CM²=CE²+EM²=100；

∵CM²+MP²=PC²，

∴∠PMC=90°，

∴直线CM与OP相切；

（3）①当⊙N与直线CP相切，且与⊙P内切，在点P左边时；

设⊙N的半径为r₁依题意知：

（CP-BC）²+r₁²=（5-r₁）²；

又∵在Rt△PBC中，BC=10，PB=5，

∴PC=5

5

∴（5

5-10）²=r₁²=（5-r₁）²

解得r₁=10

5-20，

∴ON₁=28-10

5，

∴N（28-10

5，0）；

②当⊙N与直线CP内切且与⊙P内切，但在点P右边时；

根据对称此时满足条件的圆的半径r₂=r₁=10

5-20＞2

∴ON₂=10

5-22，

∴N₂（10

5-22，0）；

③当⊙N与直线CP相切且与⊙P外切时；

设⊙N的半径为r₃，依题意得，

（10+5

5）²+r₃²=（5+r₃）²

解得r₃=20+10

5

∴ON₃=28+10

5，

∴N₃（28+10

5，0）．

点评：

本题考点： 切线的判定；勾股定理；正方形的性质．

考点点评： 连接圆心和切点是常用的辅助线方法；经过半径的外端并且与半径垂直的直线是圆的切线．